Выступление Смирнова С.К. на Всероссийском съезде учителей математики в МГУ



СМИРНОВ С.К.

Дорогие коллеги!

Очень приятно выступать перед учителями математики, перед коллегами-единомышленниками. Меня попросили организаторы съезда немножко рассказать о связи современной математики в школе и в университете. Я решил, что немного поговорю о современной математике и совсем-совсем немножко об её преподавании, потому что здесь сложно сказать что-то новое про математику.

Мне повезло, меня очень хорошо учили математике в школе, у нас и в кружках и потом в университете. Единственное, что в школе мне не объяснили, что математика это такая же живая наука, как, скажем, физика и биология, она продолжает развиваться. Потому что в школе часто создается впечатление, что Пифагор, Евклид, Эйлер все уже доказали.

Это совсем не так. Математика бурно развивается и сегодня, решаются очень старые задачи, при этом задач не становится меньше, находятся новые задачи просто как бы из чистой математики. Потом сейчас снова на волне сотрудничества с физикой, которое исторически всегда было очень хорошим, быстро растет сотрудничество с другими областями, здесь в основном выделить надо, наверное, экономику и биологию. И очень много практических применений у математики, часто говорят, что вот математика – фундаментальная наука, поэтому её нужно поддерживать, но практические применения могут прийти не через год, а через сто лет.

На самом деле это не так, практические применения неожиданно приходят прямо сейчас. Скажем, если все используют мобильный телефон, можно взять пару примеров, которые я знаю, потому что мои знакомые над этим работали. Если возьмете мобильный телефон, то в современном мобильном телефоне обычно две или три антенны, они немножко в разном положении и поэтому немножко по-разному принимают сигнал. За счет обработки информации с разных антенн и сравнения разных сигналов удается сократить какие-то шумы сделать так, чтобы мобильный телефон лучше принимал, чем 10 лет назад.

Это не физическая, это чисто математическая задача про уравнение в частных производных, и я просто знаю это от моих коллег, которые её решали для фирмы «Nokia» телефоны, и в результате стали работать лучше.

Или другая задач более очевидная задача, все передается теперь не в аналоговом, а в цифровом режиме, то есть, все кодируется в какой-то код. И тут даже основная цель не в том, чтобы раскодировали, как раз здесь не очень хорошо у телефона защищено, это как раз можно раскодировать. Основная цель, которая осуществляется, когда эти коды создавались, чтобы гасить помехи. Если у вас пропало, скажем, 10 процентов, то все равно можно было бы восстановить. И опять же это чисто математическая задача, чисто математическое исследование, которое сделано прямо сегодня. То есть, математика, будучи самой фундаментальной из наук, все равно практически очень нужна.

Самое интересное, что задачи в математике не стали более «заумными», ну не все, скажем так, стали более заумными. Конечно, математика развивается, есть какие-то новее понятия, которые вводятся на базе старых понятий. Конечно, сейчас все сложнее, чем, скажем, в ХIХ веке, но при этом есть по-прежнему задачи, которые можно объяснить, если уж не решение, то формулировку на пальцах хорошему ученику.

Я решил, что я просто немножечко поговорю про одну задачу, с которой я сам был связан, где действительно формулировку довольно просто объяснить хорошему старшекласснику. Опять же это интересно показывает, как сейчас работает современная математика. Началось с нескольких задач, которые поставили перед нами физики-экспериментаторы, а именно с того, что они действительно наблюдали в природе.

Вот здесь на картинке компьютерное моделирование. Но изначально это наблюдали просто в реальной ситуации лесных пожаров. Когда у вас выгорает кусок леса, то границы его становится уже упомянутым фракталом, причем, экспериментально люди обнаружили, что обычно это фракталы размерностью четыре третьих. И долгое время это оставалось загадкой, потому что люди просто это видели это экспериментально, потом проводили численные эксперименты на компьютерах и опять же всё это подтверждалось.

И вот совсем недавно мы с коллегами смогли это доказать, то есть, последняя статья была написана в прошлом году и вышла в этом году. Как всё происходит? Вот физики что-то обнаружили, хочется создать какую-то практическую модель математическую, которую достаточно просто описать. Вот здесь модель здесь очень простая. Нам нужно взять модель какой-то случайной среды типа леса, чтобы обсуждать, как он будет гореть,

Вот здесь на этой картинке у вас, скажем, синие шестиугольники это деревья, желтые – это дырки между ними или наоборот. И просто случайно мы для каждого шестиугольника подкидываем монетку, «орел» - красим в желтый цвет, выпала «решка» - красим в синий. Это модель называется «перколяция», она была предложена и с успехом потом использовалась для многих задач, изначально для просачивания воды через пористый камень, потом для распространения эпидемий, информации

Вот, скажем, вопрос, может ли вода по синим дыркам протечь через этот камень? Или как, вообще. выглядит регион, в который может протечь вода, как может выглядеть регион леса, который сгорит?

Вот тут две картинки и на верхней довольно-таки просто заметить, что вода сверху вниз не протечет. Там можно посмотреть, будет такое желтое препятствие. На нижней картинке, вот упражнение, можете попробовать посмотреть и становится ясно, что даже, если у вас хорошие глаза, это не так непросто. Почему? Оказывается потому, что траектории воды, и они в первой динамической модели то же самое, что и в природе, это есть фракталы размерностью четыре третьих.

Что такое «фрактал размерностью четыре третьих» в такой дискретной ситуации? Это означает, что если я возьму коробочку 1000•1000, то размерность 1 это что-то длины 1000, размерность 2 это что-то площадью 1000 в квадрате, а размерность четыре третьих это значит, что это будет кривая, в которой 1000 в степени четыре третьих шестиугольников. То есть, в данном случае это 1000 в степени четыре третьих, это 10 тысяч. То есть, если пробой есть, если вода может протечь, то для квадрата тысяча на тысячу траектория будет в десять раз длиннее, чем длина стороны, то есть, она будет очень и очень извилистая, поэтому её сложно увидеть. И это строгая теорема, которую мы доказали с коллегой из Франции Венделином Вернером, и он, кстати, тоже за нее получил Филдсовскую премию четыре года назад. Так что такая хорошая получилась теорема. Но самое интересное здесь опять же связь со школой, что, оказывается, и мы тогда этого не знали, но в первый раз эту задачу поставили в американском аналоге журнала «Квант» в самом первом его но
мере в 1894 году. Этот журнал и сейчас существует, его издает Ассоциация учителей Америки, то есть, как раз примерно тот же субъект создания, который тут обсуждали. И там есть такая сфера применения, как задачи «Кванта», но иногда более сложные задачи, я знаю, по крайней мере, два примера, когда люди получали известные премии за решение задач оттуда через 30 лет.

И вот пример этой задачи. Я тут целую страницу положил, то, что сверху интегралы, не пугайтесь. Меня тоже немножко удивило, что в журнале для учителей старшеклассников такие интегралы, но я никогда не смотрел страницы перед этим, поэтому не знаю, почему они. А в середине начинается задача, где спрашивается, что если в коробку положить шары двух цветов, это звучит, как обычно, задача из теории вероятности, но в задаче спрашивается то, что было на предыдущем слайде, каков тогда шанс, что есть цепочка шаров от одной границы до другой.

Интересно, что было опубликовано решение, которое считалось вероятнее, что есть прямая цепочка, а я уже сказал, что если цепочка есть, то она извилистая, и то даже это сделано неправильно. Но зато редактор написал: "если кто-то предложит верное решение, то даже если оно длинное, то мы его опубликуем".

Но, к сожалению, верное решение появилось через сто лет и опять же, здесь интересно, что математики сформулировали модель, но потом все это обратно вернулось к физикам, уже не к теоретикам, экспериментаторам, а к теоретикам. И выяснилось, что это связано с гораздо более глубокой областью физики, чем чем изучающая пористые камни, с уже упомянутой теорией суперструн, которая претендует на то, чтобы объяснить все. И две идеи, предлагаемые к этой модели состояли в том, что, во-первых надо изучать эту модель, когда размер шестиугольника равен нулю. То есть в реальной ситуации, если вы изучаете, например, лес, то размер дерева гораздо меньше, чем размер леса. Или вы изучаете какой-то камень, то размер молекулы меньше чем размер камня.

То есть фактически для физиков он равен нулю. Для математика надо перейти к пределу. Вот здесь две картинки, когда мы берем шаг решетки меньше и меньше, а на третьей что получается? Если бы я оставил всю картинку, то был бы просто хаос, было сложно что-то понять, я оставил просто один связанный регион, как говорят, фластер, по которому вы можете попросить "вода"?? Это тоже проктальное множество и мы тоже догадались, что его размер 91/48-ая и это, кстати, число уже наводит на мысли, что если 4/3 -их может как-то просто получиться, то девяносто одна сорок восьмая просто не получится, уверяю вас.

А вторая идея, которая помогает для плоских моделей, что этот предел должен иметь очень много симметрии. То есть сама решетка шестиугольная, у нее симметрии не много. Ее можно повернуть на 60 градусов, она вся перейдет, значит

модель тоже сохранится. Но повернуть, скажем, на 10 градусов ее уже нельзя. Повернуть можно, но модель станет другой. Но выясняется, что в пределе модель сохраняется при всех поворотах и более того при конфорных отображениях. Конфорные отображения это объекты комплексного анализа, это отображения, которые являются аналитическими функциями или другое определение: отображение, которое сохраняет углы. В школьном курсе географии видим отображение Меркатора, оно сохраняет углы, меняет расстояние и таких отображений очень много.

Если у какого-то объекта очень много симметрии, то про него можно много сказать.

И, исходя из этих двух положений, было, кстати, еще третье положение, оно не так важно для шестиугольной решетки, но оно важно как общефизический принцип, не важно, какую бы решетку мы ни взяли, все равно предельный объект получился бы тем же самым. Это то, что физики называют универсальностью. Скажем, вода замерзает при одной температуре, а другая жидкость при другой. Но сам процесс замерзания очень похож.

Так вот, используя эти предположения, наши физики из Физтеха Белавин, Куликов и Замолодчиков смогли не строго доказать такие числа. И единственное, что предел модели это уже не какой-то случайный дискретный объект, это более заумный объект, квантовая теория поля с конфорными симметриями и ведет к очень интересной алгебраической структуре, эти числа получаются из серьезной алгебры. Эта теория потом стала базой для теории суперструн, которая сейчас является лидирующим кандидатом, чтобы объяснить все, хотя пока не получается. И эти предположения предположительно, простите за тавтологию, верны для всех моделей в точке фазового перехода, для всех критических моделей. Если вы берете ферромагнитные материалы и смотрите на температуру Кюри, то тоже самое происходит.

Долгое время не было строгого доказательства, обратно все это вернулось к нам, математикам. И конкретно с этой задачей, как вы считаете вероятность пробоя , которую еще сформулировали в журнале "Квант" в 1984 году, физик Джон Карди, используя работу Белавина " .... ",

написал конкретную формулу. Формулу я не написал на слайде, потому что она действительно очень "страшная", тригонометрическая функция, она пугает и математиков. И получил он ее так: он зафиксировал три вершины и менял позицию четвертой, получил дифференциальное уравнение. Уравнение простое, но его нельзя решить, такие простые функции как синус или полином, но, грубо говоря, определение гипергеометрической функции, это решение этого уравнения. А потом шведский аналитик Леннарт-Карлесон заметил, что, если нашу область взять за равносторонний треугольник, то формула становится очень простой. То есть, если в равностороннем треугольнике с определенной стороны один и мы отложим на противоположной стороне отрезок длиной L, то тогда вероятность пробоя будет просто сходиться к L, когда шаг решетки очень маленький, она будет примерно равна L, И в этом случае решение уравнения, которое написал Карди, оно просто линейное, если точка Z ездит по стороне, и то, как это было в итоге нами доказано, оно тоже использовало эту идею, но в некотором отличии. Мы разрешили точке Z меняться внутри треугольника и тогда смотрится вероятность, что есть пробой, который отделяет ее от базовой стороны и опять результат линейный, просто координаты Y в: точке Z нужно отнормировать так, чтобы в верхней вершине была единица, поэтому нужно умножить на два, поделить на корень из тройки, и идея доказательства на самом деле очень простая. Я вполне мог бы рассказать про доказательство, но утомил бы вас. Я этого делать не буду.

Есть простой комбинаторный элемент, который говорит, что эта функция от - Z , она гармоническая. То есть в точке Z она равна среднему арифметическому своих соседей, в шестиугольной решетке их будет шесть, и, если мы знаем что-то о поведении функции на границе, мы потом ее можем восстановить.

Итак, получается, что в этом случае та будет линейная функция, а для какой-то произвольной области будет более сложная. Как бы так сложились граничные условия.

Это пример как задачу можно просто сформулировать, кстати, интересно, что простая формулировка играет большую роль. Я, вначале увидев формулировку Карди, подумал над ней три дня, потом испугался и не стал думать. А потом мне Леннарт Карлесон рассказал свою переформулировку, над ней я уже думал полгода и получилось. Но хорошо, что просто можно было переформулировать

Я хочу это привязать к более классической науке, которую мы проходим в школе, есть случайный процесс, который изучают в школах, правда, в основном на уроке биологии, это "Броуновское движение". Опять же тут важно знать правильный вопрос.

Роберт Браун - шотландский ботаник, он первым выделил ядро клетки, он в микроскоп увидел хаотическое движение (обычно в учебниках пишут - пыльцы), не пыльцы, а маленьких частичек материала внутри зернышка пыльцы. И он тогда к этому очень серьезно подошел, до него другие ученые тоже наблюдали, швед Ингеркутц, например, но никто не опубликовал статью и не задался серьезно этим вопросом. Он вначале, кстати, очень возбудился, он решил, что он нашел источник жизни в растениях, он решил, что это аналог сперматозоида в живых организмах, в растениях, эти частички. Но потом он решил проверить, есть ли такое движение в неживой материи. Выяснилось, что тоже есть. Там тоже очень интересно читается, потому что он говорит: "Вот я решил проверить неживую материю, потом я понял, что неживая материя может с живой соприкасаться, поэтому я взял кусок очень старой неживой материи, послал в Египет, чтобы откололи кусочек от сфинкса и в нем тоже увидел "Броуновское движение". Так что он даже "вандализмом" по пути позанимался, попросил каких-то хулиганов это сделать. А потом это было объяснено Эйнштейном и Норбертом Винером, который в основном знаменит за другие достижения. И, как ни странно, это было первое подтверждение молекулярной структуры вещества. То есть в микроскоп того времени нельзя было увидеть молекулу, но можно было увидеть частичку, которая гораздо больше и которая в молекулу ударяется. Это движение ведет к случайному блужданию, каждый удар это какой-то скачок, это какая-то дискретная модель, ее тоже можно моделировать на решетке. Кстати, если температура повысится, тогда она будет быстрее ездить и тогда будет соответственно быстрее двигаться. И в пределе, если смотреть очень издалека, если брать очень маленькие молекулы, это будет непрерывный процесс Броуновское движение".

И опять же, вне зависимости от того, какую мы жидкость возьмем или на какой решетке смоделируем, траектории будут одни и те же. И что самое интересное, что есть универсальность, у этих траекторий границы тоже будут в размерности 4/3 и это будет та же самая кривая, что для кластера перкаляция. Кластеры разные, а граница одна и та же.

Я сказал уже, что тут основное, и там и тут основной инструмент это гармоничекие функции. В доказательстве основной инструмент. И на самом деле они тоже появляются в школьном курсе математики. И их изучают в электростатике, в связи с законами Киркгоффа, т.е. еще в 1847 году Киркгофф изучал движение тока по цепям, скажем, справа нарисована электрическая цепь и нарисован ток, который течет. Что говорят два закона Киркгоффа? Один закон Киркгоффа говорит, что в одну вершину, если там нет источника тока, втекает столько же, сколько вытекает. Но вот здесь тоже можно проверить на правом рисунке, втекает столько же, сколько вытекает. Например, вершина, обведенная синим FY-5, в нее втекает 28,5, а вытекает 33.

А второй закон Киркгоффа, что если возьмете какой-то цикл и пройдетесь вдоль него, то вдоль него суммарный ток будет 0. Иначе можно было бы вечный двигатель устроить, всякие такие вещи.

И потенциал тогда сечения такого тока будет гармонической функцией. Он будет обладать свойством, что как раз значение в каждой точке – это среднее значение … И очень интересно, что опять же после Киргоффа – как–то математики про это забыли, а в физике применялось – а вернулось опять же из–за статьи в школьном журнале. Это была статья Лузина, нашего математика в сборнике задач, опубликованного по–немецки в Берлине, где он спросил: можно ли квадрат разбить на квадраты разного размера?
Квадрат разбить просто, скажем, квадрат 4 на 4, квадрат 1 на 1 – просто. Но можно ли квадраты разного размера? И четыре первокурсника в Кембридже придумали решение. Они не на квадраты стали резать ножницами, а стали искать электрические цепи. Они придумали, что есть соответствие между электрическими цепями и разбиванием на квадраты. Здесь как говорят, что одна картинка стоит тысячи слов, проще объяснить, например, на картинке. Разбиение прямоугольника на квадраты – вот справа электрическая цепь, горизонтальные отрезки соответствуют вершинам. Скажем, красный отрезок – это красная вершина, синий отрезок – это синяя вершина. А на ребре, соединяющем их, мы пишем длину стороны этого квадрата. То есть 28. И получается: то, что мы разбили на квадраты, дает нам в точности два закона Киргоффа. Например, синий – сверху вытекает 5 и 28, и с синей стороны сверху касаются два квадрата размером 5 и 28. А вытекает ЗЗ – это нижний квадрат ЗЗ. Вот вам первый закон Киргоффа. А второй дается вертикальными отрезками, то, что течет вокруг грани – это слева, справа – одно и то же.

И они искали, искали, экспериментировали цепями и вот пример, который они нашли. Кстати, интересно, что это задача из немецкого журнала … Он очень недолго существовал в 20–е годы в Германии. А потом заняло 20 лет серьезной работы у математиков решить и выяснилось, что потом это привело к гораздо более интересным математическим исследованиям не только из такой развлекательной математики.

Но это только один пример из современной математики. И мне опять же хочется подчеркнуть, что математика сейчас очень активная наука, она далеко не вся заумная, есть очень интересные задачи, которые можно объяснить школьникам. Она очень активно сотрудничает с физикой, биологией и другими науками, она очень активно применяется, хотя часто мы этого не замечаем. И сами по себе чисто математические задачи очень интересны.

Второе, о чем я хотел сказать. Я учил и школьников, и студентов во многих странах, и в России, и в Америке и некоторых европейских странах. Я как–то подумал, потом решил, что я об этом буду говорить совсем немножко, потому что условия очень разные в странах, мелкие проблемы очень разные. У кого–то есть ЕГЭ, у кого–то не ЕГЭ, в Америке тоже есть. У кого–то хорошие школьные традиции, как, скажем, в Швейцарии, у кого–то плохие, как скажем, в Америке. Но глобальная проблема, видимо, одна и та же. Все хотят сохранить или улучшить свой уровень математического образования, все хотят объяснить, что математическое образование – оно сейчас очень важно для людей.

И здесь у нас в решении этих проблем есть преимущество. Во второй половине 20 века у нас была создано, пожалуй, лучшее математическое образование в мире. И это не только с наших слов, потому что можно спросить, что об этом думают европейцы или американцы. Просто я встречался с учителями математики или просто исследователями, кто встречал наших выпускников в 60–70 годы, говорят, что на них это наводило удручающее впечатление, сколько наш студент или школьник знает по сравнению с американским или, скажем, с французским школьником.

И у нас были и есть многие уникальные элементы, которых не было в других странах вообще, как физико–математические школы, потом совершенно замечательная внешкольная система, которая сегодня важна, как никогда, потому что она может более дифференцированно работать, чем школа, и может охватывать одаренных участников. Были кружки, были заочные математические школы, очень массовые олимпиады.

Кажется, все это нужно сохранить и улучшить. Но опять же главный вопрос: почему и вообще зачем мы преподаем математику что в школе, что в университете? Сегодня это прозвучало уже несколько раз. Может быть, это крамольная мысль и ее опасно, не объяснив, говорить не математикам, но мы, скажем, изучаем геометрию Эвклида не затем, чтобы изучать геометрию Эвклида. Ее не будут применять в жизни, сейчас, может быть, ее применят в курсе физики, но вряд ли будут сильно применять.

Но основная цель – это научить человека думать, научить человека рассуждать логически, научить объяснять свою точку зрения. Это как, скажем, древние греки, они выделяли, потом это прошло через все средневековье, тему свободных искусств. И даже сохранилось сейчас еще, что на многих западных факультетах степень называется бакалавр искусств, а не бакалавр наук, что из первых трех свободных искусств, кроме грамматики, были логика и риторика, то есть умение логически рассуждать и отстаивать свою точку зрения. А из следующих четырех там были музыка и астрономия, а, кроме этого, арифметика и геометрия.

Математика очень сильно входила, потому что человек должен дкмать и лучше всего этому научить на примере математики. И это важно в любое время, и сейчас это важно как никогда. Это тоже применимо к университетскому образованию. У меня есть несколько бывших студентов, , особенно из американцев, кто работаете в банке в Нью–Йорке или в Лондоне. Интересно, в банке аналитиками предпочитают нанимать людей, защитивших кандидатскую диссертацию по математике или теорфизике, а не по финансовым наукам. Как они рассуждают: эти люди точно умеют думать, а финансам мы их запросто научим на месте за один месяц, когда как научить думать, если человека не научили в университете и в школе, гораздо сложнее. Здесь я просто смотрю на своих однокурсников или одноклассников по физико–математической школе № 2З9 или просто на бывших студентов – покрывается очень большой спектр профессий, от театралов, биологов, до ихтиологов, даже филологов. Я не слышал, чтобы кто–то жалел, что его учили математике, если ее преподавали хорошо. Все люди говорят, что это помогает независимо от того, чем занимаешься.

Для себя же, для самих будущих математиков в школе, видимо, важнее научиться думать, а не выучить какую–то конкретную область. Конечно, базовые знания нужны. Если рассказывают анекдоты по американское образование, это не анекдот, я видел очень многих студентов, кто сразу складывает дроби отдельно в числителе, отдельно в знаменателе. Им не посчастливилось иметь хорошего учителя математики в школе, они умные ребята, но неправильно делают. Хотелось бы, чтобы минимальный уровень был, но что дальше – это, видимо: не так важно, а важно, чтобы студенты умели хорошо думать.

И поэтому хочется сохранить и повысить уровень математического образования у нас в России и вообще в мире, сделать его более интересным. И опять же не так важно, каким областям мы учим, важно, чтобы ученики научились думать. В России у нас было много уникального, нужно его сохранить и улучшить, то, что есть хорошего, уникального в нашей системе.

Большое спасибо и хороших учеников всем нам!